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傅里叶变换及其实现(MATLAB)

2018-7-5 3:4:7 | 作者:老铁SEO | 1个评论 | 人浏览

傅立叶变换

傅立叶变换是一种常见的分析方法,傅立叶变换将满足一定条件的函数表示为一些函数的加权和(或者积分)。可以分为四个类别:
1. 非周期连续性信号
   对应于傅里叶变换,频域连续非周期
2. 周期性连续性信号
   对应于傅立叶级数,频域离散非周期
3. 非周期离散信号
   对应于DTFT(离散时间傅立叶变换),频域连续周期
4. 周期性离散信号
   对应于DFT(离散时间傅立叶变换),频域离散周期

傅立叶级数

首先从傅立叶级数开始分析,傅立叶级数是将一个信号在一组正交基上进行分解的体现。

x(t)=k=+akejkω0t

ak=1TT/2T/2x(t)ejkω0tdt

连续时间傅立叶变换

ω0=2πT,当T时,ω00
X(jω)是Tak的包络,用kω0ω,推出:
正变换

X(jω)=+x(t)ejkω0tdt

其中ak是X(jω)的等距离采样,ak=1TX(jkω0)
所以当T时,ω00,可以推出:
x(t)=akejkω0t=1TX(jkω0)ejkω0t=12πX(jkω0)ejkω0tω0
极限时转变为积分:
逆变换
x(t)=12π+X(jω)ejωtdω

离散时间傅立叶变换

离散时间傅立叶变换在频域上是连续的,但由于计算机无法表示无限长的时间片段,已经无法表示全部频率,一般取一定频域的分量。
正变换

X(ejω)=n=+x[n]ejωn

逆变换
x[n]=12π2πX(ejω)ejωndω

离散傅立叶变换

只有离散傅立叶变换在频域和时域都是离散的,即计算机可以处理的,因此DFT是可以实际进行编程并实用的。DFT的信号首先要进行截断,因为能处理的信号必须是有限的;然后对信号进行采样,对频谱进行离散化。
正变换

X(k)=n=0N1x(n)ej2πNnk

逆变换
x(n)=1Nk=0N1X(k)ej2πNnk

二维傅立叶变换

F(u,v)=x=0M1y=0N1f(x,y)ej2π(ux/M+vy/N)

f(x,y)=1MNx=0M1y=0N1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)

傅立叶变换实现

只有离散傅里叶变换才可以实现,在MATLAB中实现有fft,fft2进行傅里叶变换,同样可以手动进行变换。

一维傅立叶变换

基于FFT

%  xn是信号,n是坐标,N是点数%  N =8;%  n = [0:1:N-1];%  xn = 0.5.^n;        % 指数信号function [] = DFTusefft(xn,n,N)
    figure(1);
    Xk=fft(xn,N);      % 傅立叶变换
    subplot(211);
    stem(n,xn);
    title('原信号');

    subplot(212);
    stem(n,abs(Xk));
    title('FFT变换')end

这里写图片描述

DFT公式

function [] = DFT(xn,n,N)
    Xk = zeros(1,N);    
    for k=1:N
        sn =0.0;        for i=1:N
            sn = sn+xn(i)*exp(-j*2*pi*i*k/N);        end
        Xk(k) = sn;    end
    figure(2);
    subplot(211);
    stem(n,xn);
    title('原信号');

    subplot(212);
    stem(n,abs(Xk));
    title('DFT')end

这里写图片描述

DTFT
2分快三由于DTFT的频域是连续的而且是无穷的,当我们选择的最高频域足够高时,可以基本代表信号特征,可以进行编程。

function [] = testDTFT(xn,n,N)
    figure(3);
    w=[-800:1:800]*4*pi/800;     %频域共-800----+800 的长度(本应是无穷,高频分量很少,故省去)    
    w = [-N/2:1:N/2]*4*pi*2/N;
    X=xn*exp(-j*(n'*w));         %求dtft变换,采用原始定义的方法,对复指数分量求和而得
    subplot(211)
    stem(n,xn);
    title('原始信号(指数信号)');
    subplot(212);
    plot(w/pi,abs(X));
    title('DTFT变换')end

这里写图片描述

二维傅立叶变换

原始图像

这里写图片描述

使用fft2

function [] = imagefft()
    I=imread('lenna.jpg');
    I=rgb2gray(I);
    I=im2double(I);    F=fft2(I);    F=fftshift(F);    F=abs(F);    T=log(F+1);
    figure(4);
    imshow(T,[]);
end

这里写图片描述

使用二维傅立叶变换公式
速度很慢

function [] = imageDFT()
    I=imread('lenna_s.jpg');
    I=rgb2gray(I);
    I=im2double(I);    [x,y] = size(I);    ans = ones(x,y);
    com = 0+1i;    for u =1:x        for v= 1:y
            sn =0;            for i=1:x                
                for j=1:y
                    sn = sn+I(i,j)*exp(-com*2*pi*(u*i/x+v*j/y));                end            end            ans(u,v) = sn;        end    end
    F=fftshift(ans);
    F= abs(F);
    F=log(F+1);
    figure(5);
    imshow(F,[]);end

这里写图片描述

优化二维傅立叶变换
2分快三先按列进行傅里叶变换,再对行进行傅立叶变换,简化计算。

function [] = imageDFT2()
    I=imread('lenna.jpg');
    I=rgb2gray(I);
    I=im2double(I);    [x,y] = size(I);
    Ax = ones(x,y);    ans = ones(x,y);
    com = 0+1i;    % 对每一列进行DFT    for k =1:x        
        for m=1:y
            sn =0;            for n =1:x
                sn =sn + I(n,m)*exp(-com*2*pi*k*n/x);            end
            Ax(k,m) = sn;        end    end    % 对每一行进行DFT    for l =1:y        for k =1:x
            sn =0;            for m=1:y
                sn = sn+Ax(k,m)*exp(-com*2*pi*l*m/y);            end            ans(k,l) = sn;        end    end    
    F=fftshift(ans);
    F= abs(F);
    F=log(F+1);
    figure(6);
    imshow(F,[]);end

这里写图片描述

优化二维傅立叶变换
将按列进行傅里叶变换中使用DFT改为使用fft,速度提升很快。

function [] = imageDFT2fft()
    I=imread('lenna.jpg');
    I=rgb2gray(I);
    I=im2double(I);    [x,y] = size(I);
    Ax = ones(x,y);    ans = ones(x,y);
    com = 0+1i;    % 对每一列进行DFT      for m=1:y
        Ax(:,m) = fft(I(:,m));    end    % 对每一行进行DFT        for k=1:x        ans(k,:) = fft(Ax(k,:));    end
    F=fftshift(ans);
    F= abs(F);
    F=log(F+1);
    figure(7);
    imshow(F,[]);end

这里写图片描述

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